Công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần hình trụ

Trong bài viết này, Viện đào tạo Vinacontrol sẽ cùng bạn tìm hiểu một chủ đề toán học rất thú vị: Công thức tính diện tích hình trụ. Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào để tính diện tích của một hình trụ chưa? Đã bao giờ bạn muốn áp dụng nó vào thực tế, như trong các bài toán liên quan đến đóng gói, vận chuyển hay thậm chí là nghệ thuật? Hãy cùng tìm hiểu ngay trong bài viết này!

1. Hình Trụ là gì?

Hình trụ tròn là một loại hình học không gian cơ bản được giới hạn bởi mặt trụ và hai đáy là hai đường tròn bằng nhau. Từ này thường được dùng để chỉ hình trụ thẳng tròn xoay được tạo ra bằng cách quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định. Giả sử hình chữ nhật có tên là ABCD, CD là một cạnh cố định, khi đó:

- DA và CB quét nên hai đáy của hình trụ, là hai hình tròn bằng nhau và song song, tâm hai đường tròn lần lượt là D và C.

- Mặt xung quanh của hình trụ được quét nên bởi cạnh AB. Mỗi vị trí của AB được gọi là một đường sinh.

- Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy (2 hình tròn).

- Độ cao của hình trụ là độ dài của trục hình trụ (cạnh DC) hoặc độ đường sinh.

Hình trụ tròn là được giới hạn bởi mặt trụ và hai đáy là hai đường tròn bằng nhau

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình tròn | Các dạng bài tập liên quan

2. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Diện tích xung quanh hình trụ có thể được tính bằng công thức:

Sxq = 2 x π x r x h

Trong đó:

• Sxq là diện tích xung quanh
• π là hằng số Pi (xấp xỉ 3.14159)
• r là bán kính của hình tròn cơ sở
• h là chiều cao của hình trụ

Công thức  tính diện tích xung quanh hình tròn

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Chứng minh công thức:

Thực hiện cắt hình trụ dọc theo chiều cao từ đáy đến đỉnh, sau đó mở nó ra. Ta sẽ có một hình chữ nhật với chiều dài bằng chu vi của đáy của hình trụ (2 x π x r) và chiều rộng bằng chiều cao của hình trụ (h).

Vậy khi này, diện tích xunh quanh của hình trụ bằng diện tích của hình chữ nhật. Ta có:

Sxq = Shcn = chiều dài x chiều rộng = 2 x π x r x h (Điều phải chứng minh)

Bài tập ví dụ

Cho hình trụ có bán kính mặt đáy r = 3cm, chiều bao h = 5cm. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Sxq = 2 x π x r x h = 2 x π x 3 x 5 = 30π = 94.25 cm2

3. Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích của cả hai đáy. Công thức tính là:

Stp = Sxq + 2 x Sđáy = 2 x π x r x h + 2 x π x r^2 = 2 x π x r x (r +h)

Stp = 2 x π x r x (r +h)

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình lập phương

Bài tập ví dụ:

Cho hình trụ có đường kính đáy là 8dm, chiều cao là 6dm. Hãy tính diện tích toàn phần của hình trụ này.

Ta có đường kính là 8dm => bán kính r = 8/2 = 4dm

Diện tích toàn phẩn của hình trụ là:

Stp = 2 x π x r x (r +h) = 2 x π x 4 x (4 + 6) = 80π = 251.32 dm2

4. Các dạng bài tập liên quan đến tính diện tích hình trụ

4.1 Tính chiều cao của hình trụ

Đề bài:

Diện tích xung quanh hình trụ là 94.2cm2 và bán kính đáy r = 3cm. Tính chiều cao ℎh của hình trụ.

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức diện tích xung quanh S=2 x π x r x h và giải phương trình để tìm h.

94.2=2 x π x 3 x h  ⟹  h = 94.2/(6π) ​≈ 5cm

4.2 Tính bán kính đáy của hình trụ

Đề bài:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh là 125.6cm2 và chiều cao h=4cm. Tính bán kính r của đáy.

Hướng dẫn giải:

• Sử dụng công thức S = 2 x π x r x h và giải phương trình để tìm r.

125.6 = 2 x π x r x 4⟹ r = 125.6/(8 x π) ​≈ 5cm

4.3 Đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác, tính diện tích hình trụ

Đề bài:

Cho hình trụ có chiều cao là 8cm, bán kính đáy r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên, bạn áp dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

r=abc/√((a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c))​

Thay a = 3, b = 4, c = 5 vào công thức để tìm r.

Sau khi tính được r, ta sử dụng công thức tính diện tích toàn phần: Stp = 2 x π x r x (r +h)

4.4 Đáy là đường tròn nội tiếp tam giác, tính diện tích hình trụ

Đề bài:

Tam giác ABC có các cạnh a=3cm,b=4cm,c=5cm và diện tích S=6cm2. Đường tròn nội tiếp tam giác này là đáy của hình trụ có chiều cao h là 8cm. Tính diện tích xunh quanh của hình trụ.

Hướng dẫn giải:

Để tính bán kính đường tròn nội tiếp, ta sử dụng công thức sau: r = S/((a+b+c​)/2)​

Thay a = 3, b = 4, c = 5 và S=6 vào công thức để tính r.

Cuối cùng, sau khi tính được r. Ta sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2 x π x r x h

5. Bài toán ứng dụng công thức tính diện tích hình trụ trong thực tế

Bài toán 1: Tính diện tích vật liệu để làm thùng nước

Đề bài:

Một công ty sản xuất thùng nước hình trụ có chiều cao 1.5 mét và đường kính đáy là 1 mét. Hãy tính diện tích vật liệu cần thiết để làm thùng nước này, không tính nắp đậy.

Hướng dẫn giải:

• Bán kính đáy của thùng nước: r = 1/2​m= 0.5m
• Chiều cao: h = 1.5m
• Diện tích xung quanh hình trụ (không tính nắp đậy): Sxq = 2 x π x r x h = 2 x π x 0.5 x 1.5
• Sxq = 4.71 m2

Bài toán 2: Tính diện tích giấy để bọc pháo hoa

Đề bài:

Một công ty sản xuất pháo hoa cần bọc ngoại quan của pháo hoa hình trụ bằng giấy. Pháo hoa có chiều cao là 30 cm và bán kính đáy là 5 cm. Tính diện tích giấy cần thiết để bọc pháo hoa này.

Hướng dẫn giải:

• Bán kính đáy: r = 5cm
• Chiều cao: h = 30cm
• Diện tích giấy cần thiết: S = 2 x π x r x h
• S = 2 x π x 5 x 30 = 942.48cm2

Bài toán 3: Tính diện tích vải để làm cột trang trí

Đề bài:

Cột trang trí trong một sự kiện cần được bọc bằng vải. Cột có hình dáng của một hình trụ với chiều cao 3 mét và bán kính đáy 20 cm. Hãy tính diện tích vải cần để bọc cột trang trí này.

Hướng dẫn giải:

• Bán kính đáy: r = 20cm = 0.2m
• Chiều cao: h = 3m
• Diện tích vải cần thiết: S = 2 x π x r x h
• S = 2 x π x 0.2 x 3 ≈3.77m2

Trên đây là toàn bộ nội dung về cách tính diện tích xunh quanh hình trụ. Mong rằng qua bài viết này, Viện đào tạo Vinacontrol đã cung cấp thông tin hữu ích cho việc học tập của bạn.

Tham khảo các công thức toán học khác:

✍ Xem thêm: Quy đổi đơn vị đo thể tích

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật

✍ Xem thêm: Công thức tích diện tích và thể tích hình cầu

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình thoi

✍ Xem thêm: Công thức tính thể tích hình trụ